Die Beschwerde ist mangels Rechtsschutzbedürfnisses des Beschwerdeführers unzulässig.

Im Einklang mit Art. 19 Abs. 4 des Grundgesetzes setzt jede an einen Antrag gebundene gerichtliche Entscheidung ein Rechtsschutzbedürfnis voraus (vgl. Bundesverfassungsgericht (BVerfG), Beschluss vom 30. April 1997 - 2 BvR 817/90, nach juris). Dabei hat einen Anspruch auf gerichtliche Sachentscheidung nur derjenige, der mit dem von ihm angestrengten gerichtlichen Rechtsschutzverfahren ein rechtsschutzwürdiges Interesse verfolgt. Das erforderliche Rechtsschutzinteresse kann im Laufe eines gerichtlichen Verfahrens entfallen. Vom Wegfall eines ursprünglich gegebenen Rechtsschutzbedürfnisses kann ein Gericht im Einzelfall auch dann ausgehen, wenn das Verhalten eines rechtsschutzsuchenden Verfahrensbeteiligten Anlass zu der Annahme bietet, dass ihm an einer Sachentscheidung des Gerichts nicht mehr gelegen ist (BVerfG, Kammerbeschluss vom 27. Oktober 1998 - 2 BvR 2662/95, nach juris).

Vorliegend hat der Beschwerdeführer einer Verweisung an das - tatsächlich auch zuständige -Verwaltungsgericht zugestimmt. Bei der gleichwohl erfolgten Beschwerde ist kein schutzwürdiges Interesse des Beschwerdeführers ersichtlich. Es werden überdies keine Argumente vorgetragen, über die der Senat entscheiden kann. Denn über den Prozesskostenhilfeantrag hat das zuständige Gericht zu entscheiden und die Angabe eines Aktenzeichens bezüglich eines Antrages nach § 44 des Zehnten Buches Sozialgesetzbuch ist für vorliegendes Verfahren völlig unerheblich.

Letztlich führt die Verwerfung der Beschwerde als unzulässig zur Rechtskraft der sozialgerichtlichen Entscheidung und damit zur endgültigen Verweisung an das Verwaltungsgericht Weimar, was dem Begehren des Beschwerdeführers entspricht.

Der Senat hat davon abgesehen, die Beschwerdeschrift zuvor der Beschwerdegegnerin zuzuleiten. Auch sie hat einer Verweisung an das Verwaltungsgericht Weimar zugestimmt und ist damit nicht durch die Entscheidung beschwert.

Die Kostenentscheidung folgt aus §§ 197a SGG, 154 Abs. 2 der Verwaltungsgerichtsordnung. In Verfahren über eine Rechtswegbeschwerde hat grundsätzlich eine Kostenentscheidung zu ergehen. Die Regelung des § 17b Abs. 2 des Gerichtsverfassungsgesetzes (GVG), wonach im Falle der Verweisung des Rechtstreits an ein anderes Gericht die im Verfahren vor dem angegangenen Gericht entstandenen Kosten als Teil der Kosten im Verfahren vor dem aufnehmenden Gericht behandelt werden und deshalb in dem Verweisungsbeschluss keine eigenständige Kostenentscheidung zu treffen ist, beschränkt sich auf die Kosten des ersten Rechtszugs. Sie findet - unabhängig vom Inhalt der Entscheidung - keine Anwendung auf das Beschwerdeverfahren bei der Entscheidung über die Zulässigkeit des Rechtswegs (vgl. BSG, Beschluss vom 1. April 2009 - Az.: B 14 SF 1/08 R sowie Thüringer Landessozialgericht, Beschluss vom 4. Dezember 2017 - L 1 SV 1411/17 B, beide nach juris). Weder der Beschwerdeführer noch die Beschwerdegegnerin gehören zu den in § 183 des Sozialgerichtsgesetzes (SGG) genannten Personen. Insbesondere handelt der Beschwerdeführer nicht als Versicherter oder Leistungsempfänger, für den ein Verfahren vor den Gerichten der Sozialgerichtsbarkeit nach § 183 Satz 1 SGG kostenfrei wäre.

Einer Streitwertfestsetzung bedarf es im vorliegenden Verfahren nicht, weil mit Nr. 7504 des Kostenverzeichnisses der Anlage 1 zu § 3 Abs. 2 des Gerichtskostengesetzes eine streitwertunabhängige Festgebühr von 60,00 Euro vorgesehen ist.

Den Beteiligten steht gegen den Beschluss keine Beschwerde zu (§ 17a Abs. 4 Satz 4 GVG). Die Beschwerde war nicht zuzulassen, da weder die Rechtsfrage eine grundsätzliche Bedeutung hat noch der Senat von der Entscheidung eines obersten Gerichtshofes des Bundes oder des Gemeinsamen Senats der obersten Gerichtshöfe des Bundes abweicht (§ 17a Abs. 4 Satz 5 GVG).